第十一篇：运用MSae单位制工具剖析量子霍尔效应（2014）

 

本文发表于《科技传播》2014年7月（上）

 

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           运用MSae单位制工具剖析量子霍尔效应

皮可慰

 

[摘要]  量子霍尔效应可以在一个氢原子的电子圆周运动中显示，从个别量子之间相互作用角度剖析量子霍尔效应，有助于发现量子霍尔效应的发生机制。共振是形成量子霍尔效应的基础。使用频率替代能量可以简化物理单位，将频率、波速、波长直接体现在对物理量分析的现场，有助于个别量子之间共振机制的研究。

[关键词]  量子霍尔效应 共振 MSae单位制

 

本文运用MSae单位制工具从个别量子之间共振角度研究量子霍尔效应问题，试图描述一些常规思维方式忽略的细节。

 

一、研究工具：MSae（米秒次e）单位制

1、MSae单位制

为了适应从个别量子之间共振角度研究量子霍尔效应问题，利用普朗克常数h = 6.626075×10^－34焦·秒，1库仑电量 = 6.241506363×10¹⁸e，将相关的物理单位简化，简化单位中只有米秒次e四个符号，可称为MSae（米秒次e）单位制，MSae单位制与国际单位制完全吻合。

下面列出与本文有关的简化单位。

长度：米，与国际单位制相同。

时间：秒，与国际单位制相同。

波动（振动）周期：次，360度或者2π弧度，或者稳定个体、过程在某个时空中出现个数。

基本电量：e

1库仑电量 = 6.241506363×10¹⁸e。

    以上4个单位是MSae单位制的基本单位。

光速常数c = 2.99792458×10⁸米/秒。

频率（替代能量）：次/秒。

根据普朗克常数h = 6.626075×10^－34焦·秒可以得到：

1焦 = 1.509189075 × 10³³次/秒

1次/秒 =  6.626075×10^－34焦

质量单位：次秒/米²。

根据爱因斯坦质能相关公式：

1千克质量相当于能量：c²焦  （光速c不带单位）

1千克质量相当于频率：

= （2.99792458×10⁸）²× 1.509189075×10³³

      = 1.3563914968×10⁵⁰次/秒

换算成MSae单位制的质量:

= 频率 / c²   （光速c带单位）

= 1.3563914968×10⁵⁰/（2.99792458×10⁸）²

= 1.509189075×10³³次秒/米²

力：（次/秒）/米 。

1牛 = 焦 / 米 ，或者

  = 千克米 /秒² = 1.509189075×10³³（次/秒）/米

波密度（替代动量）：次/米。

1千克·米/秒 = 1.509189075×10³³  次/米

电势（电压）：  ( 次/秒)/ e 。

    1伏特 = 焦 / 库仑

 = 1.509189075×10³³/6.241506363×10¹⁸

= 2.41798852× 10¹⁴ ( 次/秒)/ e

电流：e /秒。

1安 = 库仑 / 秒 = 6.241506363×10¹⁸ e/秒。

电阻：次/e²。与精细结构常数有密切关系。

1欧姆 = 伏特 / 安

 = 2.41798852× 10¹⁴ /6.241506363×10¹⁸

= 3.8740459×10^-5 次/e²

1 次/e² = 25812.807欧姆 。

25812.807即克利青常数。克利青为1985年诺贝尔奖获得者，克利青常数是第18届国际计量大会（CGPM）及第77届国际计量委员会（CIPM）决议，从1990年1月1日起使用的常数。

25812.807实际上是1库仑电量与基本电量之比的平方再与普朗克常数的乘积：

    （6.241506363×10¹⁸）²×6.626075×10^－34

= 25812.807

电场强度：次 /（秒e米）

1伏特/米 = 2.41798852×10¹⁴    次 /（秒e米）

磁感应强度：  次/（e米²)

1特斯拉（T）= 千克/（秒²安）

= 1.509189075×10³³ / 6.241506363×10¹⁸

= 2.41798852×10¹⁴   次/（e米²)

由于MSae单位制对同一量纲只设置唯一的单位，因此本文直接以基本单位（即米秒次e）表示量纲，以基本单位的组合作为推导的物理单位，且使用中文表示以便增加文章的可读性。如，力的量纲和单位均可表达为：（次/秒）/米。

2、MSae单位制对运动粒子的描述

笔者认为，所有量子均表现为波动形式，定义为量子波。粒子就是量子波，量子波就是粒子。量子的波动有费米波和玻色波两种形式。费米波的波动中心在一定区间往返振动，平均速率是光速。玻色波的波动中心朝一个方向移动，速率也是光速。光子表现为纯粹的玻色波，静止的实物粒子（如质子、电子）表现为纯粹的费米波，运动的实物粒子同时含有玻色波分量和费米波分量。可以使用一个直角三角形描述量子的频率（次/秒，相当于能量、质量）、速率（米/秒）和波密度（次/米，波长的倒数，相当于不考虑矢量的动量）。这个观点可称为量子波设想，量子波设想是MSae单位制的理论基础，在量子波设想的架构下MSae单位制能够实现对粒子运动状态的准确描述。

    如下图直角三角形DEO中，斜边OE方向表示量子总的波动，纵向直角边OD方向表示量子波动的费米波分量，横向直角边DE方向表示量子波动的玻色波分量。设静止频率即费米波分量频率为，玻色波分量速度为，即一个静止频率为的实物粒子以速率运动，总的速率为光速c表现在斜边OE方向。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

图1 量子波示意图

 

可得到如下关系：

斜边OE方向，

总速率c  （即真空光速）

                 总波密度

纵向直角边OD方向，费米波频率分量 =

 

费米波速率分量

              费米波密度分量：

      横向直角边DE方向，玻色波频率分量

玻色波速度分量

玻色波密度分量 

上述对物理量的描述符合直角三角形的边角关系，费米子（如质子、电子）获得的动能越大，角DOE越大，DE方向速度就越大，但不能超过光速c。它们之间的关系计算完全符合狭义相对论变换公式的要求。用一个简单的直角三角形描述量子波，能够在频率（能量、质量）、速率、波密度（动量）方面得到与狭义相对论变换公式相似的形式，说明相对论与量子论有着天然的联系。上述最后一个公式的分母中根式外出现c² ，是能量与质量相关公式及真空电容率与真空磁导率相关公式中出现c² 的原始踪迹。

 

二、直线量子霍尔效应

1、直线霍尔效应

美国物理学家霍尔于1879年在实验中发现，当电流垂直于外磁场

通过导体时，在导体的垂直于磁场和电流方向的两个端面之间会出现电势差，这一现象即霍尔效应。这个电势差称为霍尔电势差，又称霍尔电压。

 

     

              图2 霍尔效应示意图

（本图取自于赵凯华、陈熙谋的《电磁学》133页，

高等教育出版社，2003年）

 

如图2，将一导电板放在垂直于它的磁场B中，当有电流I通过它时，在导电板的A、A`两侧会出现一个电势差U<sub>AA`</sub>，即显现霍尔效应。

这种霍尔效应中主电流方向相对于霍尔电压是水平的，因此可称为直线霍尔效应。直线霍尔效应可用洛伦兹力来说明。因为磁场使导体内移动的电荷（载流子）发生偏转，结果在A、A`两侧分别聚集了正、负电荷，形成电势差，这个电势差形成与磁场作用力反向的电场力。

设导电板内载流子的电量为q，平均定向速率为u，磁感应强度为B，它在磁场中受到的洛伦兹力为quB，当A、A`之间形成电势差后，载流子还受到一个相反的力qE = qU<sub>AA`</sub> / b (E为电场强度，b为导电板的宽度，见图2)，最后达到恒定状态时，两个力平衡，

quB  = qU_AA` / b                  （1）

公式左边的量纲为  e （米/ 秒 ）(次/e米²)

公式右边的量纲为  e [（次/ 秒 ）/  e ] / 米

整理后均为（次/ 秒 ）/ 米 ，即力的量纲。

将（1）式变形得到

U_AA  =  uB b                     （2）

霍尔电压与电荷平均速度u、磁场强度B和及电板宽度b成正比。

2、霍尔电压与水平方向电流的关系

设载流子的浓度为n，n为单位体积内的载流子出现次数，量纲为 次/米³，则电流I与u的关系为

                 I  =  bdnq u                      （3）

由（3）式得到

u  =  I /（bdnq）                       (4)

式中b、d分别为导电板的宽度和厚度，bdnq的量纲为：e / 米，即水平方向线性电量密度。

由（2）及（4）式得到

  U_AA`  =  B I /（nqd）                 (5)

式中nqd的量纲为：e / 米²，即平面电量密度。

3、霍尔电阻

将（5）式变形为

           U_AA` / I  = B /（nq d)         （6）

公式两边的量纲均为 次 / e² ，次 / e² 在MSae单位制中即为电阻单位，霍尔电压除以水平方向电流得到的物理量定义为霍尔电阻。霍尔电阻与导体平面参与相互作用的电量浓度nqd成反比，与磁场强度B成正比。

    因为霍尔电压与主电流不在一个方向上，因此霍尔电阻不是该导体正常的与平行方向电流相关的电阻。又因为垂直方向的霍尔电压与垂直方向的电流（可以理解为水平方向电流的偏转）并不成相关关系，因此霍尔电阻也不是描述导体垂直方向的电阻。霍尔电阻描述的是另外一种情况，即一定水平方向的电流能够形成垂直方向电压大小的物理特征。霍尔电阻能够使用电阻的量纲描述，而且在后文将要探讨的量子霍尔效应中，霍尔电阻出现一个稳定的极限数值25812.807欧姆，这个数值在MSae单位制中恰好就是一个标准电阻单位次 / e²，说明霍尔电阻与通常的电阻概念存在着紧密关联。

4、直线量子霍尔效应

在霍尔效应发现约100年后，德国物理学家克利青(Klaus von Klitzing, 1943-)等在研究极低温度和强磁场中的半导体时发现了量子霍尔效应。根据公式（6）：U_AA` / I  = B /（nq d)  ，通常情况下霍尔电阻应当正比于磁场强度B。然而，1980年，在研究半导体在极低温下和强磁场中的霍尔效应时，克利青发现霍尔电阻和磁场的关系并不是线性的，而是有一系列台阶式的改变，这种情况下的霍尔效应称为量子霍尔效应，由于主电流是水平直线方向的，因此可称为直线量子霍尔效应。

在发生量子霍尔效应情况下：霍尔电阻R_H = R_K / n 。

R_K称为克利青常量，它的值为25812.807欧姆。通常情况下n为整数，即1、2、3……，称为整数量子霍尔效应。在某种特殊情况下，n可为分数，如2/3、5/7等等，称为分数量子霍尔效应。随后科学家们又发现了在某些特殊条件下，可以出现不需要强磁场的量子霍尔效应，称为反常量子霍尔效应。本文仅讨论整数量子霍尔效应。

直线量子霍尔效应的特征：

（1）量子霍尔效应是突然发生的

在实验环境是平常温度时，显然不会出现量子霍尔效应。如果此时大幅度降低实验温度，如图3所示实验时的1.39K低温，霍尔电阻突然变得很小，远远低于克利青常量25812.807欧姆，接近于零。这将使人们联想到超导现象也是在极低温条件时超导体的电阻突然变小，本文将量子霍尔效应出现时的状态称为“准超导状态”。

（2）出现量子霍尔效应后，磁场变化对霍尔电压的影响是阶梯式的

在准超导状态下，如果逐步增大磁场，霍尔电压并不是与磁场同比例的线性增大，而是出现一个一个的阶梯，即磁场增大的一段过程霍尔电压并不随之增大，而是磁场增大到某个数值时，霍尔电压才跳跃式地增大到某个数值。见图3示意图，实验温度为1.39K，电流保持在25.52微安，X轴表示磁感应强度特拉斯，Y轴表示霍尔电压亳伏，n = 1在图形的高处未显示。

     

               图3 直线量子霍尔效应示意图

（本图取自于张三慧的《大学物理学 第三册 电磁学》

206页，清华大学出版社，1999年）

 

在水平方向电流不变的情况下，磁场变动的某段过程未能引起霍尔电压发生变动，此段过程中没有水平移动的电荷发生增量偏转，说明载流子受到了约束。

理论对此通常是使用二维电子气概念和朗道能级填充因子v进行解释，即认为在极低温下和强磁场中，对导电发生作用的只是不同介质界面的呈二维特征的薄层，在此条件下磁场的增强并不能使得能够在磁场下发生作用的载流子增加，从而使得导体两端面之间的电压不再升高，霍尔电阻表现为稳定值。笔者认为上述理论应当增加共振因素，否则难以解释阶梯式稳定状态的形成原因和为什么是这个定量值的问题。

（3）磁场进一步增大，霍尔电阻将出现一个极限值

上例，逐步增大磁场霍尔电阻出现阶梯式的增大，但最终会出现一个极限，这就是n = 1时的克利青常量R_K 25812.807欧姆。这时磁场继续增强并不会引起导电体两端的电荷进一步积累，霍尔电压不会继续增高，霍尔电阻也不会继续增大，这说明载流子受到的约束达到了极限。

英国的安东尼 ·黑 和  帕特里克·沃尔特斯先生的《新量子世界》（雷奕安译，长沙： 湖南科学技术出版社， 2005 ）一书第136页有一段话：“1980年克劳斯·冯·克林津（又译为：克利青）和他的同事……，也许意义更大的是量子电阻的发现——霍尔电压除以电流是量子化的，这一量子单位正比于普朗克常数除以电子电荷的平方，这一电阻单位与原子物理里面的一个基本物理常量，也就是所谓精细结构常数，关系密切。”在MSae单位制中，普朗克常数为1，电量单位为e，精细结构常数的单位为次 / e²与电阻同单位，完全符合克利青的研究结论。然而为什么会出现极限值呢？这个极限值25812.807欧姆为什么在简化单位中恰恰就是一个次 / e²呢？下面引入圆周量子霍尔效应概念，从更基础的层面研究这个问题。

 

三、圆周量子霍尔效应

电子在原子中是围绕原子核运动的，可称为电子圆周运动，这样的电子圆周运动能够出现电子的分立能级，量子力学以此为基础产生和发展。电子的圆周运动能否出现量子霍尔效应呢？下面从分析最简单的氢原子中的电子圆周运动入手探讨这个问题。

 

1、氢原子中的电子圆周运动

（1）假设电子在氢原子中沿轨道运行

如图4，设氢原子中质子带正电荷，电子带负电荷，电子轨道半径为，运动速度为，电子质量为，则：

                    （7）

 

 

 

 

 

 

 

 

图4  氢原子模型

 

公式左边表示质子与电子电场作用时的库仑力，公式右边是电子圆周运动时的离心力，两力相等才能维持电子的圆周运动。

（2）使用简化单位描述公式中的物理量

在MSae单位制中，电量q的单位是基本电量e，一个质子或者一个电子的电量绝对值e =1。

为真空电容率，国际单位制中的真空电容率：

   = 8.854187817 × 10^-12库²/（牛米²）

      1 牛 = 1焦 / 米

1焦能量相当于频率1.509189075 × 10³³次/秒

1库电量 = 6.241506363×10¹⁸e

于是，MSae单位制中的真空电容率

 2.28551414005×10^-7  e²秒/米

引入精细结构常数: a  = 0.007297353   （传统理论设为无量纲数，MSae单位制中设单位为：次/e²）             

引入真空光速数值 c = 2.9979245810⁸ （单位：米/秒）

    真空电容率可以简化为：

    1/（2 ac） （单位： e²秒/米）

(公式后面有总的单位时，a、c为纯数值，下同)

         2 ac  [单位：米/（秒e² ）]

得到一个重要推论：倒数真空电容率等于二倍光速与精细结构常

数的乘积，精细结构常数从原子物理领域前移到电磁学领域，知识的逻辑结构将更合理一些，只有使用MSae单位制工具才能得到这个推论。

电子质量m_e为9.1093897×10^-31 kg，

相当于频率：

ν_e =  9.1093897×10^-31 ×1.3563915×10⁵⁰

= 1.235589875 ×10²⁰  次/秒

    在MSae单位制中，质量等于频率除以c²。

将公式（7）变形为：

            （8）

         化简为：

            （9）

（3）引入约束条件

根据量子力学要求，电子角动量只能是普朗克常数的整倍数，得到：

 

在MSae单位制中普朗克常数为1，因而

              （10）

   得到：                （11）

（4）计算氢原子电子速度及轨道半径

   由公式（9）和公式（11）得到：

                （12）

  将质子与电子的电量1e代入，公式中分子出现e²,将精细结构常数a的单位（次 / e²）与这个e²相约，只取数值0.007297353（下同,不再说明），解得：

电子速率            (13)

电子与质子距离       （14）

当 n = 1时

  = 2.1876914 ×10⁶  米/秒

    

      = 5.29177×10^-11  米

此数值即玻尔氢原子半径，与实验值相符，与传统方式对物理公式的推导结果完全一致。使用MSae单位制作为工具推导上述物理公式比传统方式要简单一些，频率作为基本的物理量，波的各种特征如波速、频率、波长直接显示在实验和理论分析的现场，有利于揭示物理现象的本质。

2、氢原子中电子圆周运动现象与直线量子霍尔效应极为相似

（1）均存在两个相互影响的作用力

直线霍尔效应中两个相互影响的作用力来自磁场与电场，氢原子电子能级中两个相互影响的作用力来自质子与电子之间的电场力和电子圆周运动的离心力。

（2）均出现垂直方向的电场、水平方向的主电流和电流偏转

直线霍尔效应中的霍尔电压是垂直方向的，主电流是水平方向

的，在磁场作用下主电流出现偏转。

氢原子中电子绕质子运动可以理解为分子电流，这个分子电流方

向相对于电场方向来说是水平的，但同时出现向心偏转。

（3）均形成阶梯式能级

直线量子霍尔效应中的霍尔电压或者霍尔电阻出现阶梯式的跃迁变化，氢原子中电子能级与之相似，也出现阶梯式的跃迁变化，表现出量子力学特征。

（4）在量子数为1时均出现极限

直线量子霍尔效应中的极限是n = 1时的克利青常量R_K 25812.807欧姆，即1次/ e²。

氢原子中电子能级的极限表现在n = 1时的氢原子半径a₀ = r = 5.29177249 × 10^-11米。

3、圆周量子霍尔效应

氢原子中电子圆周运动现象与直线量子霍尔效应极为相似，直线

量子霍尔效应中的极限霍尔电阻是25812.807欧姆，即1次/ e²，那么圆周量子霍尔效应中能否也出现极限霍尔电阻25812.807欧姆呢？

氢原子中电子电势是向心方向的：

  

在n = 1时，电子与质子距离r为5.29177249 × 10^-11米，此时电子的电势为：

  = 2ac /（4πr₀）               (15)

  = 2 × 0.00729735308 ×  2.99792458 × 10⁸/

(4×3.1415926×  5.29177249 × 10^-11）

= 6.579684× 10¹⁵ （次/秒）/ e

此时电子围绕质子的轨道周长为：

2×3.141592×5.29177249 × 10^-11

= 3.32491864 × 10^-10米

此时电子的圆周速度为ac = 2.1876914 ×10⁶  米/秒，电子在单位时间绕质子运行轨道圈数即频率为：

频率 = 速度/周长

= 2.1876914 ×10⁶ / 3.32491864 × 10^-10

= 6.579684× 10¹⁵ （次/秒）

    设分子电流 = 电量 ×频率 = 6.579684× 10¹⁵ e /秒。

将氢原子中电子电势除以分子电流也理解为霍尔电阻。

霍尔电阻 = 电子电势 / 分子电流

=  6.579684× 10¹⁵ / 6.579684× 10¹⁵

  = 1次/ e²，即25812.807欧姆。

经计算可知，当n = 2时与n = 1时状态对比，半径为4倍，电子电势为1/4，电子速度为1/2，周长为4倍，分子电流为1/8，则霍尔电阻为2次/ e²，即25812.807欧姆的2倍。于是，我们完全可以认为氢原子中电子圆周运动能够出现量子霍尔效应，可称为圆周量子霍尔效应。在直线量子霍尔效应中1次/ e²是霍尔电阻的极大值，而在圆周量子霍尔效应中出现的1次/ e²是霍尔电阻的极小值。

 

四、电子围绕核子圆周运动时的磁场

在直线量子霍尔效应中霍尔电压的产生与运动电子受到的磁感应强度有关，那么电子围绕核子圆周运动时能否类比直线量子霍尔效应也建立磁场概念呢？

当n = 1时氢原子中的霍尔电压为6.579684× 10¹⁵ （次/秒）/ e，电子与质子距离r为5.29177249 × 10^-11米，电子运行速率为2.1876914 ×10⁶  米/秒。

根据公式（2）U_AA  =  uB b

运动电子的磁感应强度：

B  =  U_AA  / （u b）

= 6.579684× 10¹⁵/[ 5.29177249× 10^-11× 2.1876914 ×10⁶  ]

 = 5.6835255 × 10¹⁹ 次/（e米²)

这个数值是否准确呢，我们利用电磁学中带电的运动粒子在均匀磁场中自动作圆周运动的公式验证：

圆周半径R = 粒子动量P /（电量q×磁感应强度B）

电子质量m_e为9.1093897×10^-31 kg，换算为MSae单位制单位

9.1093897×10^-31×1.509189075×10³³次秒/米²

    = 1.3747791415×10³次秒/米²

  电子的动量为质量与速度的乘积

= 1.3747791415×10³× 2.1876914 ×10⁶ 

= 3.0075925 ×10⁹ 次/ 米

圆周半径R = 3.0075925 ×10⁹/（1×5.6835255 × 10¹⁹ ）

             = 5.291772686 × 10^-11米

这就是前文计算得到的玻尔氢原子半径，即电子与质子距离r，与实验值和传统理论计算值相符。经计算可知，当n = 2，3_……时，上述分析方式仍然有效。

于是，我们在电子围绕核子圆周运动时不仅建立了量子霍尔效应概念，而且引入了磁场，引入了带电粒子在均匀磁场中自动作圆周运动的概念 (此例实际上是带电粒子作圆周运动时产生均匀磁场)。磁场概念的引入，将按库仑公式计算电势和按磁感应强度计算电势的公式联系起来，进一步证实了从个别量子相互作用角度分析霍尔效应形成机制是可行的。电子动量因素的引入，将电子的波长（即动量的倒数，后文将详细阐述）与电子圆周运动周长联系起来，直线量子霍尔效应中的导电板宽度b物理量可以很自然地转换为个别电子波动半径，宏观的研究模式可以很自然地转换为个别电子之间相互作用的微观研究模式。

 

五、共振在量子霍尔效应中的作用

1、共振在圆周量子霍尔效应中的作用

电子的轨道运行状态不是连续变化的，而是间断式的变化，导致了原子中电子能级的分立性，体现了量子特征。本文前面的推导利用了电子角动量只能是的整倍数的假设，这是量子力学的规定，也是符合实验事实的。但是为什么电子的角动量只能是的整倍数呢？

现将电子视为某种波，不仅仅运动的电子是波动的，静止的电子也是波动的，速率都是光速。如前所述：电子静止质量为9.1093897×10^-31 kg，1千克质量相当于频率1.3563914968×10⁵⁰次/秒，于是静止电子的频率为 1.235589875 ×10²⁰  次/秒。

现将单位长度波动次数定义为波密度（即波长的倒数），量纲为次/米。

运动电子在运动方向的波密度分量（即动量）

      = 电子的静止波密度 × （电子速度 / 光速 ）

=  =  =  

将波密度取倒数，定义为电子运动方向的波长分量。

电子在运动方向的波长分量 =

当n = 1时，

电子运动方向的波长分量

= 3.32491×10^-10 米

注意到此时，电子运行轨道周长为：

2×3.141592×5.29177249 × 10^-11

= 3.32491×10^-10 米

于是得到结论：当n = 1时，电子运行轨道周长与其运动方向的波长分量相等。

当n = 2时，

电子在运动方向的波长分量 = 3.32491×10^-10 ×2

= 6.64982×10^-10米

电子运行轨道周长 = 3.32491×10^-10 ×4

= 1.329964×10^-9米

于是得到结论：当n = 2时，电子运行轨道周长是其运动方向波长分量的二倍。

由此可见，电子能级公式推导中要求角动量为整数，是电子轨道周长为波长整倍数现象的体现，这是一种类似驻波的共振现象，共振是圆周量子霍尔效应的形成机制，也是电子能级的形成机制。有人可能会说，通常驻波的形成需要两个端点固定，而圆周运动中的周长并没有确定的起点和终点，电子怎么能知道从哪里到哪里是一个圆周呢？只有将电子视为波，波动是定域性与非定域性的统一，波动中心具有定域性，波动影响的无限远具有非定域性，快速重复圆周动作产生电子自身波动的“谐调”，共振才能发生。

圆周量子霍尔效应并不需要强磁场，也不需要极低温，只要电子进入核的作用范围出现圆周运动，霍尔效应随即发生，当量子数n变小并逐步接近1时量子效应愈加明显。圆周量子霍尔效应是量子霍尔效应的基础，它的基础性地位表现在两个方面：一是它体现了量子的个别性，某种量子（如电子或者质子）既是“全同”的又不是“全同”的，是能够进行个别具体实在性描述的；二是它体现了个别量子之间一对一相互作用中的“共振”，而不仅仅将共振理解为众多粒子的协同行动。

2、晶格共振是导电二维效应的基础

导体在接通直流电之后，金属中的自由电子不会轻易脱离金属表面，大部分电子是在质子（核子）约束下运动，（当然也存在电子之间的排斥作用）与圆周量子霍尔效应中的电子是围绕质子（核子）运动不同，接通直流电的导体中的电子是在水平方向电场的作用下沿着原子表面运动。某些导体在极低温条件下达到临界点温度时，会突然出现超导现象。超导现象有几个特征：一是导体处于极低温，二是发生的突然性，三是出现导电二维效应导体薄层电阻极度减小，四是出现无衰减电流可以产生永恒磁场，等等。

通常对超导的解释是极低温条件下电子的热运动减少到最低限度，从而使得导电电子“畅通无阻”出现无衰减电流，但如此解释不了超导发生的突然性问题。笔者认为超导发生的突然性来源于晶格的“相变”，极低温度下不仅仅使得电子的热运动减少到最低限度，而且为晶格同步共振创造了条件，同步共振使得电子的波动与晶格的波动谐调，电子移动过程中的能量转移降低到极限。超导体的“同位素效应”能够说明超导时电子与晶格相互作用的重要性，解释超导机制的库珀电子对理论，实际上已经将个别量子之间一对一的相互作用概念和e²形式引入理论中，传统的“声子”理论在本质上也是一种同步共振理论。

氢原子中电子圆周运动实际上可以理解为已经处于超导状态，此时并没有宏观的极低温实验环境，但就单个原子中的电子而言，电子之间的热运动对单个电子运动的影响是很小的，这个局部出现了事实上的“极低温”。原子中电子在能级间跃迁是“突然”发生的，如果将原子中的电子轨道运动视为分子电流，那么这样的电流是零电阻的和无衰减的，如果众多分子电流方向相同，类似永久磁铁的效应即可出现。前文已经描述了同步共振在氢原子电子圆周运动中的作用。

晶格共振在P型半导体霍尔效应中也有体现。P型半导体指的是对某种纯物质（如硅）掺入某种杂质，这种杂质能够吸收硅结构表层原子的外围电子，使表层硅原子失去电子而成为“空穴”，原来不导电的硅结构通过“空穴导电”机制成为可以以某种方式导电的半导体，称为P型半导体。人们通常是这样描述空穴导电的：空穴从电路的负极吸收电子又将电子传递给下一空穴，最终将电子交给电路的正极。人们将空穴视同与电子一样是可以移动的，电子承载的是负电荷，空穴承载的是正电荷，都称为载流子。人们在空穴导电理论下，解决了很多微电子问题，可以说整个半导体的奥妙，微电子领域大多数重大发现都与空穴导电现象有关。空穴导电是一种全新的物理现象，对于空穴导电的上述解释模式看似很合理，其实问题远没有这样简单，理论将空穴视为载流子，但是空穴毕竟与电子不同，任意一个具体的空穴并没有从导体的一端移动到另一端。

传统的空穴导电理论，对于解释P型半导体与金属导体(或者电子型即N型半导体)在霍尔效应的实验中，电子的垂直移动方式表现不同形成的霍尔电压方向相反的问题，并不理想。如图2，磁场B方向是由纸外向纸里，电流I方向是由左向右，运用右手定则，作用力方向是由下往上。如果导电体是金属导体，导体中电子是承载负电荷的载流子，载流子受到向上的作用力，电子将会聚集在导电板的上端，霍尔电压的正极在导电板的下部即A^`端。如果导电体是P型半导体，由于将空穴视同为承载正电荷的载流子，载流子同样是受到向上的作用力，但这次不是电子而是空穴聚集在导电板的上端，霍尔电压的正极在导电板的上部即A端，这时电子反而聚集在导电板的下部了。实验证实了这个结果并将这个效应广泛应用于实践中，上述将空穴视为与电子类同为载流子的空穴导电理论似乎无可非议，但是人们仍然心存疑虑，同样是在晶格空间中真实移动的电子，为什么偏移的方向不同呢？

笔者认为，解释这个问题的关键是必须让“空穴”真正动起来，但是它的移动方式与电子移动方式不同，可以使用晶格振动方式解释空穴的移动和电荷的输运过程。“空穴”的移动是“单向”的，携带电子的振动半波并没有表现为空穴移动，因为这时晶格不是空穴，只在“交出”电子以后的振动半波才表现为空穴移动。使用晶格振动方式理解空穴导电，空穴的半波移动体现了半导体“半”的特征，这时的空穴虽然只是原地往返振动，但是已经可以实现载流子移动方向的偏移了，能够为解释P型半导体在霍尔效应中的独特表现提供新的思路。

进行量子霍尔效应实验的半导体一般是N型即电子作为载流子的半导体，大多数情况下“电子导电”并不依赖晶格共振，但是当温度降低到临界点出现超导或者“准超导”状态时，晶格共振必将发挥重要作用。晶格共振使得导体表面出现一个特殊的导电薄层，在这个“二维”薄层中，由于突然出现的“同步”，几乎所有原子都以同样的频率和振幅振动，导电电子从一个原子表面绕行到另一原子表面，即在晶格表面快速滑行，电流将会突然增大。晶格共振是导电二维效应的基础，由于二维薄层成为导电的绝对优势通道（如同电子圆周运动的轨道），可以将其他的非薄层部分视为绝缘体（如同电子圆周运动的轨道外空间），直线量子霍尔效应的实验环境得以接近园周量子霍尔效应的物理环境，从个别量子之间共振角度研究直线量子霍尔效应问题成为了可能。

3、在导电薄层效应条件下，直线霍尔效应中参与导电的电子物理参数稳定

在直线量子霍尔效应中参照圆周量子霍尔效应模式，引入个别量子之间的共振概念是必须的，否则很难解释“次/e²”这样的“个别性”极强的极限数值出现的原因。

直线量子霍尔效应中承担导电功能的电子并不是绕一个固定核子作圆周运动，然而在薄层效应条件下，导电电子从一个原子表面绕行到另一原子表面，即在晶格表面快速滑行，也是一种形式的圆周运动。现在按照这个观点，通过量子霍尔效应实验结果推算导电电子的若干物理参数。

根据图3，n = 1时量子霍尔效应实验结果：

水平方向电流 = 25.52 微安

= 1.5928324238 ×10¹⁴ e/秒（实验控制）

磁感应强度B = 20特拉斯（T）（实验近似值，不影响分析）

= 20×2.41798852×10¹⁴

= 4.83597704×10¹⁵ 次/（e米²)

           霍尔电压 = 658.74283 毫伏

= 658.74283×2.41798852×10¹⁴

= 1.5928324238 ×10¹⁴ （次/秒）/e （实验测定）

霍尔电阻 = 25812.807欧姆 = 1次 / e²  （实验结果计算）

（1）计算导电电子运动方向波动半径

在二维薄层导电效应状态下：

霍尔电阻 = 分子电压 / 分子电流

分子电压U_AA  = 电子速率u×磁感应强度B ×电子运动方向波动半径b

分子电流I = 电量×频率

 = 电量×电子速率u / 电子运动方向波长

= 电量×电子速率u /（电子运动方向波动的半径b×2×园周率）

整理上述公式可以得到：

  b² = 霍尔电阻×电量/（2×园周率×磁感应强度B）

将实验中霍尔电阻和电量值（均为1）及磁感应强度B的值4.83597704×10¹⁵代入，得到：

b² = 1×1/（2×3.1415926×4.83597704×10¹⁵）

  计算得到：

电子运动方向波动半径b = 5.736776816×10^-9米

（2）计算电子运动方向波长、波密度（动量）和运动速度

如前所述，将电子视为某种波，不仅仅运动的电子是波动的，静止的电子也是波动的，速率都是光速。电子静止质量为9.1093897×10^-31 kg，相当于频率：= 1.235589875 ×10²⁰  次/秒。

电子运动方向波长 = 2×3.1415926×5.736776816×10^-9

                = 3.6045231186×10^-8米

电子运动方向波密度（动量） = 电子运动方向波长分量的倒数

              = 1 / 3.6045231186×10^-8

        = 2.7742921×10⁷  次/米

电子运动速度 = 电子动量 / （电子的静止频率 / 光速²）

         = 2.7742921×10⁷ ×8.98755178736 ×10¹⁶

              / 1.235589875 ×10²⁰ 

         = 2.0179911 ×10⁴ 米/秒

（3）计算导体水平方向总的线性电量密度

水平方向线性电量密度 = 总电流 / 电子平均速度

            = 1.5928324238 ×10¹⁴ / 2.0179911 ×10⁴

            = 7.893158814 ×10⁹  e / 米

（4）计算叠层系数和分子电流

在氢原子的电子圆周运动中得到的物理参数如分子电压和分子电流是向心的，除了磁效应外，电压和电流物理量并没有对外表现出来。上述计算得到的直线量子霍尔效应中参与导电的单个电子的物理参数，由于直线量子霍尔效应中的电子运动与圆周量子霍尔效应中的电子运动是有区别的，导电电子不是围绕核子的完整圆周运动，而是围绕核子的水平运动，参与导电的单个电子的物理参数必然在宏观上表现出来。

现设一物理量：叠层系数。叠层系数与导体的几何状态、电子分布浓度有关，也与电流大小有关。叠层系数对于垂直方向的电压而言，约当串联电池（或者电容器）的数量，对于水平方向的电流而言，约当并联导电线的数量。

叠层系数 = 线性电量密度×单个电子运动方向波长分量

            = 7.893158814  ×10⁹ ×3.6045231186×10^-8

            = 284.5107

   分子电流 = 总电流 /叠层系数

            =  1.5928324238 ×10¹⁴ / 284.5107

            = 5.598497×10¹¹ e/秒

（5）准超导状态下的二维效应使得参与导电的电子上述物理状态稳定

根据公式（4），电荷平均速度u与电流I的关系为：

u  =  I /（bdnq）

bdnq是导体水平方向线性电量密度，量纲是e / 米。通常情况下，导体在接通直流电之后形成一个电场，电荷沿着电场方向移动，移动的速度是加速的，然而由于阻力，能量在沿途传递给别的量子，移动速度趋于一个平均值。平均速度（米/秒）乘以导体水平方向线性电量密度（e / 米），即得到电流e / 秒。在准超导状态下导电的二维薄层效应明显，导体表层导电电子已经被充分动员出来达到饱和状态，bdnq成为一个稳定数值，导体的二维薄层成为导电的主要通道，在一定的电流条件下，自由电子（严格说是准超导电子）某些物理状态趋于稳定。

经过以上（1）到（4）步骤，我们根据图3列示的实验数据推算出该实验中导体的若干物理参数：

水平方向电流 = 1.5928324238 ×10¹⁴ e/秒

参与导电的个别电子运动速度 = 2.0179911 ×10⁴ 米/秒

电子运动方向波动半径b = 5.736776816×10^-9米

电子运动方向波长 = 3.6045231186×10^-8米

电子运动方向波密度（动量） = 2.7742921×10⁷  次/米

导体水平方向线性电量密度 = 7.893158814  ×10⁹ e / 米

叠层系数 = 284.5107

分子电流 = 5.598497×10¹¹ e/秒

在二维薄层效应不变的情况下，只要水平方向电流强度稳定，该导体的上述物理参数也是稳定的，不因外加磁场的改变而变动。外加磁场的改变仅使得分子电压、总电压和霍尔电阻变动。

4、共振在直线量子霍尔效应中的作用

（1）量子数n = 1

当磁感应强度值为4.83597704×10¹⁵ 次/（e米²) 时：

（即图3所示磁感应强度为20特拉斯）

根据运动电子在均匀磁场中作圆周运动的公式：

圆周半径R = 粒子动量P /（电量q×磁感应强度B）

将上述物理参数代入，并控制磁感应强度数值，计算可知：

电子圆周运动半径R

 = 2.7742921×10⁷/（1×4.83597704×10¹⁵）

= 5.736776823×10^-9米

电子圆周运动周长 = 2×3.1415926×5.736776823×10^-9

                    = 3.60452312×10^-8米

此值等于电子运动方向波长3.60452312×10^-8米，于是出现驻波数n = 1时的共振稳定状态。此时：

分子电压U_AA = 电子速率u×磁感应强度B ×电子运动方向波动半径b

=  2.0179911 ×10⁴×4.83597704×10¹⁵×5.736776816×10^-9

                     = 5.598497 ×10¹¹  （次/秒）/ e

   霍尔电阻 = 分子电压 / 分子电流

            = 5.598497 ×10¹¹ / 5.598497 ×10¹¹

            = 1 次 / e²  即25812.807欧姆

总电压 = 个别电子分子电压×叠层系数

            = 5.598497 ×10¹¹ ×284.5107

            = 1.5928323×10¹⁴  （次/秒）/ e

换算为国际单位制

1.5928323×10¹⁴ / (2.41798852×10¹⁴)

= 658.74 毫伏

      与图3所示实验值一致。

    （2）量子数n = 2

当磁感应强度值为2.41798852×10¹⁵ 次/（e米²)时：

     （即图3所示磁感应强度为10特拉斯）

电子圆周运动半径R

 = 2.7742921×10⁷/（1×2.41798852×10¹⁵）

= 1.1473553646×10^-8米

电子圆周运动周长 = 2×3.1415926×1.1473553646×10^-8

                    = 7.209046246×10^-8米

此值为电子运动方向波长3.60452312×10^-8米的2倍，于是出现驻波数n = 2时的共振稳定状态。此时：

分子电压U_AA = 电子速率u×磁感应强度B ×电子运动方向波动半径b

=  2.0179911 ×10⁴×2.41798852×10¹⁵×5.736776816×10^-9

                     =  2.79924838 ×10¹¹  （次/秒）/ e

   霍尔电阻 = 分子电压 / 分子电流

            = 2.79924838 ×10¹¹ / 5.598497 ×10¹¹

            = 1/2 次 / e²  即25812.807欧姆的1/2。

总电压 = 个别电子分子电压×叠层系数

            = 2.79924838 ×10¹¹ ×284.51

            = 7.96414×10¹³  （次/秒）/ e

换算为国际单位制

7.96414×10¹³ / (2.41798852×10¹⁴)

= 329.37 毫伏

        与图3所示实验值相符。

人们可能会问，当外加磁场未达到形成驻波状态时（如n = 1与n =2之间的状态）为什么未能引起霍尔电压的变动，仍需要使用传统理论的朗道能级填充因子v的束缚机制进行解释吗？传统理论认为在二维薄层效应条件下磁场的增强并不能使得能够在磁场下发生作用的载流子增加，从而使得导体两端面之间的电压不再升高。笔者认为从个别量子之间共振角度分析量子霍尔效应，已经将研究的视角引向微观层面，量子力学规律将使非量子稳定状态自然地迅速地回归到量子稳定状态，磁感应强度在10特拉斯基础上增加但未达到20特拉斯时，电子的运动状态仍保持在磁感应强度10特拉斯时的共振状态，增加的“磁力线”被排斥在导电薄层之外（本质上是准超导电流自身产生磁场的排斥作用），因此未能导致霍尔电压增加。通过准超导的磁场效应解释朗道能级填充因子v的束缚机制，有可能是一种新的思路。

 

计算可知，在n 为其他数值时，上述计算数值均与实验数据吻合，类似驻波共振的约束机制在直线量子霍尔效应中能够得到充分体现。以MSae单位制作为研究工具从个别量子之间共振角度剖析量子霍尔效应，是一种可行的研究方法，有可能发现很多常规思维方式下发现不了的秘密。

 

 

参考书目

 

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